设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且ψ’(x)=φ(x)，ψ(0)=0． (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

admin2019-01-05 53

问题设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且ψ’(x)=φ(x)，ψ(0)=0．
(1)求方程y’+ysin x=φ(x)e^cosx的通解；
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

选项

答案(1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e^-∫sinxdx[∫φ(x)e^cosxe^∫sinxdxdx+C] =e^cosx[∫φ(x)e^cosx.e^-cosxdx+C] =e^cosx[∫φ(x)dx+C]=e^cosx[ψ[x)+C]，其中C为任意常数． (2)因为ψ’(x)=φ(x)，所以ψ(x)=∫₀^xφ(t)dt+C₁．又ψ(0)=0，于是，ψ(x)=∫₀^xφ(t)dt． ψ(x+2π)=∫₀^x+2πφ(t)dt=∫₀^xφ(t)dt+∫_x^x+2πφ(t)dt=ψ(x)+∫₀^2πφ(t)dt，所以当∫₀^2πφ(t)t=0时，ψ(x+2π)=ψ(x)，即ψ(x)以2π为周期．因此，当∫₀^2πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．

解析

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考研数学三

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设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且ψ’(x)=φ(x)，ψ(0)=0． (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

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