已知A,B为三阶非零矩阵,且 β1=(0,1,一1)T,β2=(a,2,1)T,β3=(b,1,0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量,且Ax=β3有解。求 (Ⅰ)a,b的值; (Ⅱ)求Bx=0的通解。

admin2017-12-29  37

问题 已知A,B为三阶非零矩阵,且

β1=(0,1,一1)T,β2=(a,2,1)T,β3=(b,1,0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量,且Ax=β3有解。求
(Ⅰ)a,b的值;
(Ⅱ)求Bx=0的通解。

选项

答案(Ⅰ)由B≠O,且β1,β2,β3是齐次线性方程组Bx=O的三个解向量可知,向量组β1,β2,β3必线性相关,于是 |β1,β2,β3|=[*] 解得a=3b。 由Ax=β3有解可知,线性方程组Ax=β3的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,对增广矩阵作初等行变换得 [*] 所以b=5,a=3b=15。 (Ⅱ)因为B≠O,所以r(B)≥1,则3一r(B)≤2。又因为β1,β2是Bx=0的两个线性无关的解,故3一r(B)≥2,综上,r(B)=1,所以β1,β2是Bx=0的一个基础解系,于是Bx=0的通解为 x=k1β1+k1β2,其中k1,k2为任意常数。

解析
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