求y"一y=e|x|的通解．

admin2016-06-25 34

问题求y"一y=e^|x|的通解．

选项

答案自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y"=y+e^|x|在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为 y"一y=e^x，求得通解 y=C₁e^x+C₂e^一x+[*]xe^x．当x＜0时，方程为 y"一y=e^一x，求得通解 y=C₃e^x+C₄e^一x一[*]xe^一x．因为原方程的解y(x)在x=0处连续且y’(x)也连续，据此，有 [*] 其中C₁，C₁为任意常数．此y在x=0处连续且y’连续．又因y"=y+e^|x|，所以在x=0处y"亦连续，即是通解．

解析

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