设当x∈[－1，1]时，f(x)连续，F(x)=∫－11|x－t|f(t)dt，x∈[－1，1]．若f(x)>0(－1≤x≤1)，证明曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

admin2018-07-23 47

问题设当x∈[－1，1]时，f(x)连续，F(x)=∫_－1¹|x－t|f(t)dt，x∈[－1，1]．
若f(x)>0(－1≤x≤1)，证明曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

选项

答案F(x)=∫_－1^x(x－t)f(t)dt+∫_x¹( t－x)f(t)dt =x∫_－1^xf(t)dt－∫_－1^xtf(t)dt+∫_x¹tf(t)dt－x∫_x¹f(t)dt Fˊ(x)=∫_－1^xf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)－∫_x¹f(t)dt+xf(x) =∫_－1^xf(t)dt－∫_x¹f(t)dt， F″(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0．所以曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

解析

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考研数学二

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