[2006年] 试确定A,B,C的值,使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3),其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小.

admin2019-04-05  50

问题 [2006年]  试确定A,B,C的值,使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3),其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小.

选项

答案根据无穷小比较定义,利用命题1.1.6.2求之.又注意到所给方程右边为x的多项式,联想到ex的泰勒展开,比较x的同次幂系数,也可求得A,B,C的值. 由题设有[*]=0.因而 [*] 因[*]3x2=0,由命题1.1.6.2知, [*]{ex[1+B+(B+2C)x+Cx2]一A}=0, 即 1+B—A=0. ① 同理由[*] 得到[*]ex[1+2B+2C+(B+4C)x+Cx2]=0, 即 1+2B+2C=0. ② 再由[*] =(1/6)[*]{ex[1+3B+6C+(B+bC)x+Cx2]}=0, 得到 1+3B+6C=0. ③ 由②×3一③得到2+3B=0,即B=-2/3.将其代入式③、式①,分别得到C=1/6,A=1/3.

解析
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