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  3. [2004年] 设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

[2004年] 设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

admin2021-01-25  30
问题 [2004年]  设n阶矩阵
求A的特征值和特征向量；
选项
答案解一 根据A的结构特点：主对角线上的元素全为a=1，非主对角线上的元素全为b，由命题2．5．1．7即得到A的特征值为λ1=1+(n－1)b，λ2=λ3=…=λn=1－b． 解二 [*] 令f(x)=x+1－b，则f(B)=B+(1－b)E．如能求出B的特征值，则f(B)=B+(1－b)E的特征值即可求出．事实上，因秩(B)=1，由命题2．5．1．5即知B的特征值为λ1=b+b+…+b=nb，λ2=λ3=…=λn=0，故f(B)即A=B+(1－b)E的特征值为f(λ1)=nb+1－b=(n－1)b+1， f(λ2)=f(λ3)=…f(λn)=0+(1－b)=1－b． 下面求A的特征向量，首先求属于特征值λ1=1+(n－1)b的A的特征向量．由命题2．5．1．4即知α1=[1，1，…，1]T为属于特征值λ1=1+(n一1)b的A的特征向量，所以A的属于λ1的全部特征向量为kα1(k为非零的任意常数)． 再求A的属于特征值λ2=λ3=…=λn=1-b的特征向量．为此求(λ2E—A)X=0的基础解系．对λ2E一A以初等行变换，得到 [*] 因而所求的基础解系为 α2=[－1，1，0，…，0]T， α3=[－1，0，1，0，…，0]T， …， αn=[－1，0，…，0，1]T． 故A的属于λ2的所有特征向量为 k2α2+k3α3+…+knαn (k2，k3，…，kn是不全为0的常数)． 注：命题2．5．1．4 设n阶矩阵A的各行元素之和为a，则a为A的一个特征值，且A的属于特征值a的一个特征向量为[1，1，…，1]T． 命题2．5．1．5 设n阶矩阵A=[aij]，若秩(A)=1，则A有n一1个零特征值λ1=λ2=…=λn-1=0，另一个特征值为λn=a11+a22+…+ann=tr(A)(称为A的迹)． 命题2．5．1．7 设n阶矩阵A的主对角线上元素全为a，非主对角线上元素全为b，则由|A|=[a+(n－1)b](a－n)n-1知，A的n个特征值为λ1=a+(n－1)b， λ2=λ3=…=λn=a－b．
解析
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考研数学三

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