2. 考研
  3. 已知函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明： 存在η∈(0，1)，使得f”(η)＜-2．

已知函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明： 存在η∈(0，1)，使得f”(η)＜-2．

admin2022-09-22  42
问题 已知函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明：
存在η∈(0，1)，使得f”(η)＜-2．
选项
答案若不存在η∈(0，1)，使f”(η)＜-2， 则对任何x∈(0，1)，有f”(x)≥-2， 由拉格朗日中值定理得 f(x)-f(ξ)=f’(C)(x-ξ)，C介于x与ξ之间， 不妨设x＜ξ，f’(x)≤-2(x-ξ)， 积分得∫0ξf’(x)dx≤-2∫0ξ(x-ξ)dx=ξ2＜1， 于是f(ξ)-f(0)＜1，即f(ξ)＜1， 这与f(ξ)＞1相矛盾，故存在η∈(0，1)，使f”(η)＜-2．
解析
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考研数学二

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