(1)求定积分an=∫02x(2x－x2)ndx，n=1，2，…； (2)对于(1)中的an，证明an+1

admin2018-07-23 31

问题 (1)求定积分a_n=∫₀²x(2x－x²)ⁿdx，n=1，2，…；
(2)对于(1)中的a_n，证明a_n+1n，t(n=1，2，…)且

．

选项

答案（1）当n≥2时，计算a_n=∫₀²x(2x－x²)ⁿdx=∫₀²x[1－(1－x)²]ⁿdx，作积分变量代换，令1－x=t，于是 a_n=∫₁^－1(1－t)(1－t²)ⁿ(－dt)=∫_－1¹(1－t²)ⁿdt－∫_－1¹t(1－t²)ⁿdt =∫_－1¹(1－t²)ⁿdt =2∫₀¹(1－t²)ⁿdt．下面用分部积分计算： [*] 所以 [*] 由此迭代式得 [*] (2) 由a_n的迭代式显然有0＜a_n＜a_n－1 (n=2，3，…)．又 [*]

解析

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考研数学二

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