2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)上连续，若对任意的t∈(0，+∞)恒有 其中Ω(f)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2)，D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域，∑(t)是球域Ω(t)的表面，L(t)是D(t)的边界曲线．证明：f(x)满足∫0t

设函数f(x)在[0，+∞)上连续，若对任意的t∈(0，+∞)恒有 其中Ω(f)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2)，D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域，∑(t)是球域Ω(t)的表面，L(t)是D(t)的边界曲线．证明：f(x)满足∫0t

admin2018-09-25  35
问题 设函数f(x)在[0，+∞)上连续，若对任意的t∈(0，+∞)恒有

其中Ω(f)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2)，D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域，∑(t)是球域Ω(t)的表面，L(t)是D(t)的边界曲线．证明：f(x)满足∫0tr2f(r)dr+tf(r)=2t4，且f(0)=0．
选项
答案D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}，∑(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2=t2}，L(t)={(x，y)｜x2+y2=t2}，且 [*] =∫02πdθ∫0πsinφdφ∫0tr2f(r)dr=4π∫0tr2f(r)dr， [*] =∫02πdθ∫0tr2f(r)dr=2π∫0tr2f(r)dr， [*] 由题设条件，有 47π∫0tr2f(r)dr+2πtf(t)=2π∫0tr2f(r)dr+4πt4， 即 ∫0tr2f(r)dr+tf(f)=2t4． 又t≠0，则 [*]
解析
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考研数学一

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