2. 考研
  3. 在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。 (Ⅰ)求关系式中的矩阵A； (Ⅱ)设目前农村人口与城镇

在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。 (Ⅰ)求关系式中的矩阵A； (Ⅱ)设目前农村人口与城镇

admin2018-01-26  26
问题 在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。
(Ⅰ)求关系式中的矩阵A；
(Ⅱ)设目前农村人口与城镇人口相等，即
选项
答案(Ⅰ)由题意，人口迁移的规律不变，所以 xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn， yn+1=yn+pxn-qyn=pxn+(1-q)yn， 用矩阵表示为 [*] 因此A=[*] (Ⅱ)由[*]由 [*] =(λ-1)(λ-1+p+q)， 得A的特征值为λ=1，λ=r，其中r=1-p-q。 当λ1=1时，解方程(A-E)x=0，得特征向量 p1=[*] 当λ2=r时，解方程(A-rE)x=0，得特征向量 p2=[*] 令P=(p1，p2)=[*]，则 P-1AP=[*]=A，A=PAP-1，An=PAnP-1， 于是 [*]
解析
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考研数学一

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