已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=(1-a)χ12+(1-a)χ22+2χ32+2(1+a)χ1χ2的秩为2. (1)求a. (2)求作正交变换X=QY,把f(χ1,χ2,χ3)化为标准形. (3)求方程f(χ1,χ2,χ3)=0的

admin2019-06-28  47

问题 已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=(1-a)χ12+(1-a)χ22+2χ32+2(1+a)χ1χ2的秩为2.
    (1)求a.
    (2)求作正交变换X=QY,把f(χ1,χ2,χ3)化为标准形.
    (3)求方程f(χ1,χ2,χ3)=0的解.

选项

答案(1)此二次型的矩阵为A=[*] 则r(A)=2,|A|=0.求得|A|=-8a,得a=0. A=[*] (2)|λE-A|=[*]=λ(λ-2)2, 得A的特征值为2,2,0. 对特征值2求两个正交的单位特征向量: A-2E=[*] 得(A-2E)X=0的同解方程组χ1-χ2=0,求出基础解系η1=(0,0,1)T,η3=(1,1,0)T.它们正交,单位化:α1=η1,α2=[*] 求0的一个单位特征向量:A=[*] 得AX=0的同解方程组[*] 得一个解η1=(1,-1,0)T,单位化得α3=[*] 作正交矩阵Q=(α1,α2,α3),则QTAQ=[*] 作正交变换X=QY,则f化为Y的二次型f=2y12+2y22. (3)f(X)=χ12+χ22+2χ32+2χ1χ2=(χ1+χ2)2+2χ32. 于是f(χ1,χ2,χ3)=0[*] 求得通解为:c[*],c任意.

解析
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