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  3. 设A为m×n矩阵，且r(A)=． (Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解； (Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．

设A为m×n矩阵，且r(A)=． (Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解； (Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．

admin2017-02-28  41
问题 设A为m×n矩阵，且r(A)=．
(Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解；
(Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．
选项
答案(Ⅰ)令ξ1，ξ2，…，ξn—r的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn—r=ξn—r+η0为Ax=b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn—rβn—r=0，即k1ξ1+k2ξ2+…+kn—rξn—r+(k0+k1+…+kn—r)η0=0． 上式左乘A得(k0+k1+…+kn—r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn—r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn—rξn—r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn—r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn—r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn—r线性无关． 若γ0，γ1，…，γn—r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1一γ0，…，ξn—r+1=γn—r+1一γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn—r+1ξn—r+1=0，则 k1γ1+k2γ2+…+kn—r+1γn—r+1一(k1+k2+…+kn—r+1)y0=0． 因为γ0，γ1，…，γn—r+1线性无关，所以k1=k2=…=kn—r=0，即ξ1，ξ2，…，ξn—r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n一r+1个线性无关解． (Ⅱ)令A=[*]，化为AX=β．因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4一r(A)≥2，r(A)≤2，又 [*]
解析
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考研数学一

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