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  3. [2013年] 设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： 存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1．

[2013年] 设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： 存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1．

admin2019-04-08  23
问题 [2013年]  设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1．
选项
答案待证等式可改写成f’’(η)+[f’(η)一1]=0，即[f’(η一1]’+[f’(η)一1]=0． 两边乘以eη，则eη[f’(η)一1]’+eη[f’(η)一1]={eη[f’(η)一1]}’=0． 于是应考虑辅助函数F(x)=[f’(x)一1]ex． 由上题知，存在ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=1，又因f’(x)为偶函数，故f’(一ξ)=f’(ξ)=1，则 F(ξ)=[f’(ξ)一1]eξ=0，F(一ξ)=[f’(一ξ)一1]e-ξ=[f’(ξ)一1]e-ξ=0． 在区间[一ξ，ξ]上对F(x)使用罗尔定理，即得存在η(一ξ，ξ) [*] (一1，1)，使得F’(η)=0．由 F’(x)=ex[f’(x)一1]+exf’’(x)， 得F’(η)=eη[f’(η)一1]+eηf’’(η)=0，即f’’(η)+f’(η)=1．
解析
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考研数学一

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