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设有抛物线Γ:y=a-bx2(a>0,b>0),试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y=x+1相切; (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。
设有抛物线Γ:y=a-bx2(a>0,b>0),试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y=x+1相切; (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。
admin
2015-11-16
24
问题
设有抛物线Γ:y=a-bx
2
(a>0,b>0),试确定常数a、b的值使得
(1)Γ与直线y=x+1相切;
(2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。
选项
答案
解 Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为 [*] 显然V
y
中含两个参数a与b,下求出a与b的关系。 因Γ与直线y=x+1相切,即相交又相切,设切点为(x
0
,y
0
),则在切点处两曲线的函数值相同,且其斜率相等,因而有 [*] 解之得[*]=4(1-a) 将上述关系代入V
y
中,则V
y
仅含一个参数a,即 V
y
=2π(a
2
-a
3
)。 令( V
y
)’
a
=0得a=2/3,因而b=3/4,而当a=2/3时,因 [*]=2π(2-4)<0, 故当a=2/3,b=3/4时,Γ与直线y=x+1相切,且它们所围图形绕y轴旋转所得旋转体体积最大。
解析
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考研数学一
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