2. 考研
  3. 已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。 求曲线y=f(x2∫0xf(－t2)dt的拐点。

已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。 求曲线y=f(x2∫0xf(－t2)dt的拐点。

admin2019-06-28  42
问题 已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。
求曲线y=f(x2∫0xf(－t2)dt的拐点。
选项
答案曲线方程为y=ex2∫0xe－t2dt，则 y’=1+2xex2∫0xe－t2， y’’=2x+2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt， 令y’’=0得x=0。 下面证明x=0是y’’=0唯一的解，当x＞0时， 2x＞0，2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt＞0， 可知y’’＞0； 当x＜0时， 2x＜0，2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt＜0， 可知y’’＜0。可知x=0是y’’=0唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x2)∫0xf(－t2)dt在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0)点是曲线y=f(x2)∫0x(一t2)dt唯一的拐点。
解析
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考研数学二

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