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  3. 设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是

设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是

admin2014-01-26  31
问题 设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是
选项 A、∫0xf(t2)dt．   
B、∫0xf2(t)dt．
C、∫0xt[f(t)－f(－t)]dt．   
D、∫0xt[－f(t)＋f(－t)]dt．
答案D
解析 [分析]  利用奇偶函数的定义和定积分的性质即得．
[详解]  设F(x)＝∫0xt[f(f)＋f(－t)]dt，则
    F(－x)＝∫0－xt[f(t)＋f(－t)]dt，
令u＝－t，则当t＝0时，u＝0，当t＝－x时，u＝x，于是．
    F(－x)＝∫0x(－u)[f(－u)＋f(u)]d(－u)＝∫0xu[f(－u)＋f(u)]du
    ＝∫0xt[f(t)＋f(－t)]dt＝F(x)．
即F(x)为偶函数，故应选(D)．
    [评注1]类似可得∫0xt[f(f)－f(－t)]df和0xf2(t)df为奇函数，而0xf(t2)df的奇偶性不定．
    [评注2]  对于选择题，也可取f(x)＝1，f(x)＝x，用排除法找到答案．
    [评注3]  ｜f(t)dt的奇偶性与f(x)的奇偶性的关系是：
    若f(x)为奇函数，则∫0xf(t)dt为偶函数；若f(x)为偶函数，则∫0xf(t)dt为奇函数．
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考研数学二

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