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设α1=(1,0,2,3)T,α2=(1,1,3,5)T,α3=(1,一1,a+2,1)T,α4=(1,2,4,a+8)T,β=(1,1,b+3,5)T.问: (1)a,b为什么数时,β不能用α1,α2,α3,α4表示? (2)a,b为什么数时,β可用α1
设α1=(1,0,2,3)T,α2=(1,1,3,5)T,α3=(1,一1,a+2,1)T,α4=(1,2,4,a+8)T,β=(1,1,b+3,5)T.问: (1)a,b为什么数时,β不能用α1,α2,α3,α4表示? (2)a,b为什么数时,β可用α1
admin
2017-10-21
25
问题
设α
1
=(1,0,2,3)
T
,α
2
=(1,1,3,5)
T
,α
3
=(1,一1,a+2,1)
T
,α
4
=(1,2,4,a+8)
T
,β=(1,1,b+3,5)
T
.问:
(1)a,b为什么数时,β不能用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
表示?
(2)a,b为什么数时,β可用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
表示,并且表示方式唯一?
选项
答案
利用秩来判断较简单(见用定理3.7的①和②).为此计算出r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)和r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,,β)作比较.构造矩阵(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
|β),并用初等行变换化阶梯形矩阵: [*] (1)当a+1=0,而b≠0时,r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=2,而r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,因此β不能用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示. (2)当a+1≠0时(b任意),r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=4,β可用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
表示,并且表示方式唯一. (如果a+1=0,而b=0,则r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=2,因此β能用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,但是表示方式不唯一.)
解析
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考研数学三
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