设函数y=y(x)是微分方程y’’-3y’+2y=0满足条件y(0)=1,y’(0)=2的特解,则直线x=0,y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________.

admin2019-05-14  40

问题 设函数y=y(x)是微分方程y’’-3y’+2y=0满足条件y(0)=1,y’(0)=2的特解,则直线x=0,y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________.

选项

答案[*](e2-1)

解析 本题考查二阶线性常系数齐次微分方程的求解与旋转体的体积计算.
    先求微分方程的特解:微分方程y’’-3y’+2y=0的特征方程为r2-3r+2=0,特征根为r1=1,r2=2,所以微分方程的通解为
y=C1ex+C2e2x
进一步,y’=C1ex+2C2e2x,由y(0)=1,y’(0)=2,得

解得C1=0,C2=1,所以微分方程的特解为y=e2x
    再求旋转体的体积:取x为积分变量,则直线x=0,y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形(如图55所示)绕y轴旋转所得旋转体的体积为
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