(91年)设函数f(x)在(一∞,+∞)内满足f(x)=f(x一π)+sinx,且f(x)=x,x∈[0,π),计算∫π3πf(x)dx.

admin2019-04-17  38

问题 (91年)设函数f(x)在(一∞,+∞)内满足f(x)=f(x一π)+sinx,且f(x)=x,x∈[0,π),计算∫πf(x)dx.

选项

答案当x∈[π,2π)时,x一π∈[0,π),由f在[0,π)上的定义知 f(x一π)=x一π 故 f(x)=f(x一x)+sinx=x一π+sinx, x∈[π,2π) 当x∈[2π,3π)时,x一π∈[π,2π) f(x一π)=[(x一π)一π]+sin(x一π)=x一2π一sinx 故 f(x)=f(x一π)+sinx =x一2π—sinx+sinx=x一2π, x∈[2π,3π) 则 ∫πf(x)dx=∫πf(x)dx+∫f(x)dx =∫π(x一π+sinx)dx+∫(x一2π)dx=π2一2

解析
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