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  3. 设α=[a1，a2，…，a2]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P，使P－1AP=Λ．

设α=[a1，a2，…，a2]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P，使P－1AP=Λ．

admin2018-09-25  22
问题 设α=[a1，a2，…，a2]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P，使P－1AP=Λ．
选项
答案(1)先求A的特征值． 利用特征值的定义． 设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=αTαξ=λξ． (*) 若αTξ=0，6则λξ=0，又ξ≠0，故λ=0； 若αTξ≠0，(*)式两端左边乘αT，得αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)． 因αTξ≠0，故λ=αTα= [*] (2)再求A的对应于λ的特征向量． 因为A=ααT，当λ=0时，(λE－A)X=－ααTX=0，因为满足αTX=0的X必满足ααTX=0，故当λ=0时，对应的特征方程是a1x1+a2x2+…+anxn=0．对应λ=0的n－1个特征向量为 ξ1=[a2，－a1，…，0]T， ξ2=[3，0，－a1，0]T， …… ξn－1=[an，0，0，…，－a1]T． 当λ=[*]=αTα时，对矩阵λE－A=αTαE－ααT两端右边乘α，得 (λE－A)α=(αTαE－ααT)α=(αTα)α－α(αTα)=0， 故知α=[a1，a2，…，an]T即是所求ξn． (3)最后由ξ1，ξ2，…，ξn，得可逆矩阵P． [*]
解析
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考研数学一

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