设A是m×n矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=—aE +ATA是正定阵,则a的取值范围是________。

admin2017-01-21  43

问题 设A是m×n矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=—aE +ATA是正定阵,则a的取值范围是________。

选项

答案a<0

解析 BT=(—aE+ATA)T=—aE +ATA=B,故B是一个对称矩阵。
B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0,都有
xTBx=xT(—aE +ATA)x=一axTx +xTATAx=一axTx+(Ax)TAx>0,
其中(Ax)T(Ax)≥0,xTx>0,因此a的取值范围是—a >0,即a<0。
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