设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． ①用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ②求(A一3E)6．

admin2017-11-23 29

问题设二次型x^TAx=x₁²+4x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，矩阵

满足AB=0．
①用正交变换化x^TAx为标准形，写出所作变换．
②求(A一3E)⁶．

选项

答案[*] ①先作正交矩阵Q，使得Q^-1AQ是对角矩阵．条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量：对B的第1，2两个列向量α₁=(1，0，1)^T，α₂=(2，一1，0)^T作施密特正交化： η₁=α₁／｜｜α₁｜｜=[*](1，0，1)^T，η₂=β₂／｜｜β₂｜｜=[*](1，一1，一1)^T．求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α₁，α₂都正交， [*] 的非零解，求出α₃=(1，2，一1)^T 是属于6的一个特征向量，单位化 η₃=α₃／｜｜α₃｜｜=[*](1，2，-1)^T．记Q=(η₁，η₂，η₃，则Q是正交矩阵，Q^-1AQ= [*] 作正交变换x=Qy，它x^TAx化为标准二次型6y₃²． ②A的特征值为0，0，6，则A一3E的特征值为一3，一3，3，(A一3E)⁶的3个特征值都是3⁶．于是(A一3E)⁶～3⁶E=>(A一3E)⁶=3⁶E．

解析

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考研数学一

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设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． ①用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ②求(A一3E)6．

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直线L的方向向量为[*]而平面π的法向量n=(1，1，0)，故s=2n，所以s∥n，即直线L与平面π垂直．

过三点A(1，1，一1)，B(-2，一2，2)和C(1，一1，2)的平面方程是______．

设∑为球面(x一1)2+y2+(z+1)2=1，则第一型曲面积分()

设φ(y)为连续函数．如果在围绕原点的任意一条逐段光滑的正向简单封闭曲线l上，曲线积分其值与具体l无关，为同一常数k．如果φ(y)具有连续的导数，求φ(y)的表达式.

设随机变量X，Y独立同分布，且设随机变量U＝max{X，Y)，V＝min{X，Y)．求P(U＝V)．

设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X～N(1，32)，Y～N(0，42)，且X，Y的相关系数为，又设X，Z是否相互独立?为什么?

设y＝y(x)二阶可导，且y’≠0，x＝x(y)是y＝y(x)的反函数．(1)将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y’(0)＝的解：

求椭圆与椭圆所围成的公共部分的面积．

设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．

已知四元齐次线性方程组(i)的解全是四元方程(ii)x1＋x2＋x3＝0的解。求a的值；

简述诉讼时效中止与中断的区别。

下列哪项属于非感染性发热

乙醇拭浴时，在患者头部放置冰袋的目的是

下列关于隐匿性肾小球肾炎的叙述，错误的是()。

下列条件中，借款人申请国家助学贷款须具备的条件，也是申请商业助学贷款须具备的有()。

在资产定价模型中，β值为1的证券被称为具有()。

Thegovernmentistobanpaymentstowitnessesbynewspapersseekingtobuyuppeopleinvolvedinprominentcases【C1】______thet

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