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设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n),证明: 其中E是r阶单位阵.
设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n),证明: 其中E是r阶单位阵.
admin
2019-04-22
31
问题
设A是n阶矩阵,满足A
2
=A,且r(A)=r(0<r≤n),证明:
其中E是r阶单位阵.
选项
答案
A
2
=A,A的特征值的取值为1,0,由A一A
2
=A(E一A)=O知 r(A)+r(E—A)≤n, r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n, 故r(A)+r(E一A)=n,r(A)=r,从而r(E一A)=n一r. 对λ=1,(E—A)X=0,因r(E一A)=n—r,故有r个线性无关特征向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
s
; 对λ=0,(0E一A)X=0,即AX=0,因r(A)=r,有n一r个线性无关特征向量,设为ξ
r+1
,ξ
r+2
,…,ξ
n
. 故存在可逆阵 P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
], 使得 P
一1
AP=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/xfLRFFFM
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考研数学二
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