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设A是四阶方阵,A*是A的伴随矩阵,其特征值为1,一1,2,4,则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ).
设A是四阶方阵,A*是A的伴随矩阵,其特征值为1,一1,2,4,则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ).
admin
2022-04-10
33
问题
设A是四阶方阵,A
*
是A的伴随矩阵,其特征值为1,一1,2,4,则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ).
选项
A、A一E
B、2A一E
C、A+2E
D、A一4E
答案
A
解析
利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系:|A|=λ
1
λ
2
…λ
n
判别之,其中λ
i
为A的特征值.
设A
*
的特征值为λ
1
*
,λ
2
*
,λ
3
*
,λ
4
*
,则
λ
1
*
=1,λ
2
*
=一1,λ
3
*
=2,λ
4
*
=4,,
于是 |A
*
|=1.(一1).2.4=一8,
因而|A|
4一1
=|A
*
|,故|A|
3
=一8,即|A|=一2,所以A的特征值为
因而A一E的特征值为
μ
1
=一2一1=一3,μ
2
=2一1=1,
μ
3
=一1一1=一2,μ
4
=一1/2一1=一3/2,
故|A一E|=μ
1
.μ
2
.μ
3
.μ
4
=一9≠0,所以A一E可逆.
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考研数学三
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