2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证： (b－a)[f(a)+f(b)]+f″(x)(x－a)(x－b)dx．

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证： (b－a)[f(a)+f(b)]+f″(x)(x－a)(x－b)dx．

admin2016-10-26  29
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证：
(b－a)[f(a)+f(b)]+f″(x)(x－a)(x－b)dx．
选项
答案连续利用分部积分有 [*]f(x)dx=[*]f(x)d(x－b)=f(a)(b－a)－[*]f′(x)(x－b)d(x－a) =f(a)(b－a)+[*](x－a)d[f′(x)(x－b)] =f(a)(b－a)+[*]f″(x)(x－a)(x－b)dx =f(a)(b－a)+f(b)(b－a)－[*]f″(x)(x－a)(x－b)dx， 移项后得 [*](b－a)[f(a)+f(b)]+[*]f″(x)(x－a)(x－b)dx．
解析 很自然的想法是用分部积分法，但要注意“小技巧”：
f(x)d(x－a)，
这样改写后分部积分的首项简单．这一点考生应熟练掌握．
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考研数学一

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