给定曲线y=x2+5x+4， (Ⅰ)确定b的值，使直线y=一x+b为曲线的法线； (Ⅱ)求过点(0，3)的切线．

admin2018-11-21 22

问题给定曲线y=x²+5x+4，
(Ⅰ)确定b的值，使直线y=一

x+b为曲线的法线；
(Ⅱ)求过点(0，3)的切线．

选项

答案(Ⅰ)曲线过任意点(x₀，y₀)(y₀=x₀²+5x₀+4)不垂直于x轴的法线方程是 y=一[*](x一x₀)+y₀。要使y=一[*]x+b为此曲线的法线，则[*]=b．解得x₀=一1，b=一[*]． (Ⅱ)曲线上任意点(x₀，y₀)(y₀=x₀²+5x₀+4)处的切线方程是 y=y₀+(2x₀+5)(x—x₀)， (*) 点(0，3)不在给定的曲线上，在(*)式中令x=0，y=3得x₀²=1，x₀=±1，即曲线上点(1，10)，(一1，0)处的切线y=7x+3，y=3x+3，通过点(0，3)，也就是过点(0，3)的切线方程是y=7x+3与y=3x

解析关键是写出该曲线上任意点(x₀，y₀)处的切线方程y=y₀+(2x₀+5)(x—x₀)，或不垂直于x轴的法线方程y=y₀一

(x一x₀)，其中y₀=x₀²+5x₀+4，再根据题中的条件来确定x₀。

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考研数学一

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