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已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,满足Aα1=一α1一3α2—3α3,Aα2=4α1+4α2+α3,Aα3=一2α1+3α3. 求矩阵A的特征向量;
已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,满足Aα1=一α1一3α2—3α3,Aα2=4α1+4α2+α3,Aα3=一2α1+3α3. 求矩阵A的特征向量;
admin
2014-02-06
22
问题
已知A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,满足Aα
1
=一α
1
一3α
2
—3α
3
,Aα
2
=4α
1
+4α
2
+α
3
,Aα
3
=一2α
1
+3α
3
.
求矩阵A的特征向量;
选项
答案
由(E—B)x=0得基解系β
1
=(1,1,1)
T
,即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量,由(2E一B)x=0得基础解系β
2
=(2,3,3)
T
,即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量,由(3E一B)x=0得基础解系β
3
=(1,3,4)
T
,即矩阵B属于特征值A=3的特征向量,那么令P
2
=(β
1
,β
2
,β
3
),则有P
2
BP
2
=[*]于是令P=P
1
P
2
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=(α
1
+α
2
+α
3
,2α
1
+3α
2
+3α
3
,α
1
+3α
2
+4α
3
),则有P
-1
AP=(P
1
P
2
)
-1
A(P
1
P
2
)=P
2
-1
(P
1
-1
AP
1
)P
2
=P
2
-1
BP
2
=[*]所以矩阵A属于特征值1,2,3的线性尤关的特征向量依次为k
1
(α
1
+α
2
+α
3
),k
2
(2α
1
+3α
2
+3α
3
),k
3
(α
1
+3α
2
+4α
3
),k
i
≠0(i=1,2,3)
解析
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考研数学一
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