已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2． (Ⅱ

admin2018-08-03 59

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1一a)x₁²+(1一a)x₂²+2x₃²+2(1+a)₁x₂的秩为2．
(Ⅱ

选项

答案当a=0时，A=[*]=(λ一2)²λ 可知A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=0． A的属于λ₁=2的线性无关的特征向量为 η₁=(1，1，0)^T，η₂=(0，0，1)^T A的属于λ₃=0的线性无关的特征量为 η₃=(一1，1，0)² 易见η₁，η₂，η₃两两正交．将η₁，η₂，η₃单位化得 e₁=[*](1，1，0)²，e₂=(0，0，1)²，e₃=[*](一1，1，0)² 取Q=(e₁，e₂，e₃)，则Q为正交矩阵．作正交变换x=Qy，得f的标准形为 f(x₁，x₂，x₃)=λ₁y₁²+λ₂y₂²+λ₃y₃²=2y₁²+2y₂²．

解析

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考研数学一

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