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设数列{xn}满足0<x1<1,ln(1+xn)=exn+1一1(n=1,2,…).证明 存在,并求该极限.
设数列{xn}满足0<x1<1,ln(1+xn)=exn+1一1(n=1,2,…).证明 存在,并求该极限.
admin
2018-08-22
38
问题
设数列{x
n
}满足0<x
1
<1,ln(1+x
n
)=e
x
n+1
一1(n=1,2,…).证明
存在,并求该极限.
选项
答案
当0<x<1时, ln(1+x)<x<e
x
一1. 由0
1<1,可知 0<e
x
2
—1一ln(1+x
1
)<x
1
<1, 从而0<x
2
<1.同理可证当0<x<
k
<1时,x
k+1
同样满足0<x
k+1
<1,由数学归纳法知对一切 n=1,2,…,有0<x
n
<1,即数列{x
n
}是有界的. 又当0<x
n
<1时x
n+1
<e
x
n+1
一1=ln(1+x
n
)<x
n
,即{x
n
}单调减少. 由单调有界准则知[*]存在.将该极限值记为a,则a≥0. 对ln(1+x
n
)=e
x
n+1
一1两边取极限,得 ln(1+a)=e
a
一1. 设f(x)=e
x
一1一ln(1+x),当0<x<1时,[*]因此f(x)单调增加. 由f(0)=0,可知f(x)>0,从而只有a=0,即[*]
解析
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考研数学二
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