2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4，β都是四维列向量，A﹦(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax﹦β有通解kξ﹢η﹦Jk(2，1，0，－1)T﹢(3，－1，2，1)T，其中k为任意常数，则下列关系式中不正确的是( )

设α1，α2，α3，α4，β都是四维列向量，A﹦(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax﹦β有通解kξ﹢η﹦Jk(2，1，0，－1)T﹢(3，－1，2，1)T，其中k为任意常数，则下列关系式中不正确的是( )

admin2019-01-22  22
问题 设α1，α2，α3，α4，β都是四维列向量，A﹦(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax﹦β有通解kξ﹢η﹦Jk(2，1，0，－1)T﹢(3，－1，2，1)T，其中k为任意常数，则下列关系式中不正确的是(    )
选项 A、β－3α1﹢α2－2α3－α4﹦0
B、β﹢﹦0
C、α1－α2﹢2α4－β﹦0
D、β－5α1－2α3﹦0
答案C
解析 根据线性方程组有通解kξ﹢η可知
β﹦(α1，α2，α3，α4)(kξ﹢η)﹦(α1，α2，α3，α4)
    ﹦(2k﹢3)α1﹢(k－1)α2﹢2α3﹢(－k﹢1)α4，
即β－(2k﹢3)α1－(k－1)α2－2α3－(－k﹢1)α4﹦0，其中k是任意常数，可见α1，α2，α3，α4，β线性相关，上述线性组合为0的式子中不能没有α3，C选项没有α3，故C选项不正确。
    当k﹦0时A选项成立；k﹦时B选项成立；k﹦1时D选项成立。故本题选C。
本题考查齐次线性方程组解的性质及通解的结构。利用解的性质写出解向量之间的关系式，结合线性相关的性质得出不论k取何值，等式中都不能缺少α3。
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