设α1,α2,α3,α4,β都是四维列向量,A﹦(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax﹦β有通解kξ﹢η﹦Jk(2,1,0,-1)T﹢(3,-1,2,1)T,其中k为任意常数,则下列关系式中不正确的是( )

admin2019-01-22  22

问题 设α1,α2,α3,α4,β都是四维列向量,A﹦(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax﹦β有通解kξ﹢η﹦Jk(2,1,0,-1)T﹢(3,-1,2,1)T,其中k为任意常数,则下列关系式中不正确的是(    )

选项 A、β-3α1﹢α2-2α3-α4﹦0
B、β﹢﹦0
C、α1-α2﹢2α4-β﹦0
D、β-5α1-2α3﹦0

答案C

解析 根据线性方程组有通解kξ﹢η可知
β﹦(α1,α2,α3,α4)(kξ﹢η)﹦(α1,α2,α3,α4)
    ﹦(2k﹢3)α1﹢(k-1)α2﹢2α3﹢(-k﹢1)α4
即β-(2k﹢3)α1-(k-1)α2-2α3-(-k﹢1)α4﹦0,其中k是任意常数,可见α1,α2,α3,α4,β线性相关,上述线性组合为0的式子中不能没有α3,C选项没有α3,故C选项不正确。
    当k﹦0时A选项成立;k﹦时B选项成立;k﹦1时D选项成立。故本题选C。
本题考查齐次线性方程组解的性质及通解的结构。利用解的性质写出解向量之间的关系式,结合线性相关的性质得出不论k取何值,等式中都不能缺少α3
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