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  3. 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数； (Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．

设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数； (Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．

admin2017-08-07  36
问题 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为

(I)求X与Y的相关系数；
(Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．
选项
答案求X与Y的相关系数通常是计算EX，EY，DX，DY，EXY，然后根据公式求得ρXY． EX=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫0+∞∫0+∞xye-(x+y)dxdy=∫0+∞xe-xdx∫0+∞ye-ydy=1 EX2=∫0+∞∫0+∞x2ye-(x+y)dxdy=∫0+∞x2e-xdx∫0+∞ye-ydy=Γ(3).Γ(2)=2 DX=EX2一(EX)2=1． 同样方法可以计算出EY=DY=2．又 EZ=EXY=∫0+∞∫0+∞xy2e-(x+y)dxdy =∫0+∞y2e-ydy∫0+∞xe-xdx=Γ(3).Γ(2)=2， E(XY)2=∫0+∞∫0+∞x2y3e-(x+y)dxdy=∫0+∞y3e-ydy∫0+∞x2e-xdx=Γ(4).Γ(3)=12 (I)由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0，故 [*] (Ⅱ)DZ=DXY=E(XY)2一[E(XY)]2=12—22=8．
解析
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