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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫0ξf(x)dx＋ξf(ξ)＝0．

设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫0ξf(x)dx＋ξf(ξ)＝0．

admin2021-03-18  23
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫0ξf(x)dx＋ξf(ξ)＝0．
选项
答案令[*](x)＝x2∫0xf(t)dt，显然[*](0)＝[*](1)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得[*](ξ)＝0， 而 [*](x)＝2x∫0xf(t)dt＋x2f(x)， 于是 2ξ∫0ξf(t)dt＋ξ2f(ξ)＝0， 而ξ≠0，故2∫0ξf(x)dx＋ξf(ξ)＝0．
解析
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考研数学二

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