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[2006年] 四维向量组α1 =[1+a,1,1,1],α2 =[2,2+a,2,2],α3 =[3,3,a+3,3], α4 =[4,4,4,4+a].问a为什么数时,α1,α2,α3 ,α4 线性相关?在α1,α2,α3 ,α4 线性相关时求其一个
[2006年] 四维向量组α1 =[1+a,1,1,1],α2 =[2,2+a,2,2],α3 =[3,3,a+3,3], α4 =[4,4,4,4+a].问a为什么数时,α1,α2,α3 ,α4 线性相关?在α1,α2,α3 ,α4 线性相关时求其一个
admin
2019-05-10
30
问题
[2006年] 四维向量组α
1
=[1+a,1,1,1],α
2
=[2,2+a,2,2],α
3
=[3,3,a+3,3],
α
4
=[4,4,4,4+a].问a为什么数时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关?在α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.
选项
答案
(1)由∣α
1
,α
2
,α
3
,α
4
∣=0即可求出a;(2)将所求的a值代入(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)中并用初等行交换化为行最简形. α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,即行列式∣α
1
,α
2
,α
3
,α
4
∣=0,而∣α
1
,α
2
,α
3
,α
4
∣=a
3
(a+10), 于是当a=0或一10时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 当a=0时,α
1
是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的极大无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当a=一10时,用初等行变换求其极大无关组. [α
1
T
,α
2
T
,α
3
T
,α
4
T
]=[*] =[β
1
,β
2
,β
3
,β
4
]. 显然β
1
,β
2
,β
3
为β
1
,β
2
,β
3
,β
4
的一个极大线性无关组,且β
4
=一β
1
一β
2
一β
3
.由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系,故α
1
,α
2
,α
3
是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大无关组,且α
4
=一α
1
一α
2
一α
3
.
解析
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考研数学二
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