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已知p=的一个特征向量。 (Ⅰ)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值; (Ⅱ)问A能不能相似对角化?并说明理由。
已知p=的一个特征向量。 (Ⅰ)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值; (Ⅱ)问A能不能相似对角化?并说明理由。
admin
2019-02-26
20
问题
已知p=
的一个特征向量。
(Ⅰ)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;
(Ⅱ)问A能不能相似对角化?并说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)设λ是特征向量p所对应的特征值,根据特征值的定义,有(A-λE)p=0,即 [*] 从而有方程组[*]解得a=-3,b=0,且p所对应的特征值λ=-1。 (Ⅱ)A的特征多项式 |A-λE|=[*]=-(λ+1)
3
, 得A的特征值为λ=-1(三重)。 若A能相似对角化,则特征值λ=-1有三个线性无关的特征向量,而 [*] 故r(A+E)=2,所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量,A不能相似对角化。
解析
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考研数学一
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