设x1＞0，xn+1=1—e-xn，n=1，2，…．(1)证明数列{xn}收敛，并求其极限；(2)求极限

admin2019-07-22 68

问题设x₁＞0，x_n+1=1—e^-xn，n=1，2，…．(1)证明数列{x_n}收敛，并求其极限；(2)求极限

选项

答案 (1)因为x₁＞0，所以x₂=1一[*]＞0．设x_n＞0，则x_n+1=1—[*]＞0，从而{x_n}有下界．令f(x)=x一(1一e^-x)，则f’(x)=1一e^-x，当x＞0时，f’(x)＞0，从而f(x)＞f(0)=0，即x＞1一e^-x，于是x_n＞1一e^-xn=x_n+1，即{x_n}单调递减．由单调有界准则，{x_n}收敛，设[*]，则a=1一e^-a，得a=0． (2)[*]

解析

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考研数学二

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