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设矩阵A=,且∣A∣=一l,又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0,属于λ0的特征向量为α=[一1,一1,1]T.求a,b,c和λ0的值.
设矩阵A=,且∣A∣=一l,又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0,属于λ0的特征向量为α=[一1,一1,1]T.求a,b,c和λ0的值.
admin
2021-01-19
29
问题
设矩阵A=
,且∣A∣=一l,又设A的伴随矩阵A
*
有特征值λ
0
,属于λ
0
的特征向量为α=[一1,一1,1]
T
.求a,b,c和λ
0
的值.
选项
答案
(1)由A求出A
*
,再通过A
*
求解是行不通的.应利用AA
*
=∣A∣E,把A
*
α=λ
0
α转化为λ
0
Aα=一α.这是求解本例的关键.(2)如由Aα=λα得到的方程个数小于待定常数个数,再利用其他条件(例如本例∣A∣=一1)求之. 设与A
*
的一个特征值λ
0
相对应的A的特征值为λ,则∣A∣/λ=λ
0
,即λ=∣A∣/λ
0
, 因为A
*
的属于λ
0
的特征向量为α,故A的属于λ的特征向量也为α.于是有 Aα=λα=(∣A∣/λ
0
)α, 即 λ
0
Aα=一α(因∣A∣=一1). ① 由 [*] 由式②一式④得λ
0
=1.将λ
0
代入式②、式③得b=一3,a=c. 再由∣A∣=一l和a=c,有[*]=a一3=一1,所以a=c=2.
解析
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考研数学二
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