2. 考研
  3. 函数f(x，y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______．

函数f(x，y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______．

admin2017-10-17  52
问题 函数f(x，y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_______．
选项
答案一64
解析 根据题意可知，得区域D内驻点(2，1)，则有
    fxx"=8y一6xy一2y2；
    fxy"=8x一3x2一4xy；
    fyy"=-2x2．
则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B2=32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．
当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，z=2x3一12x2(0≤x≤6)，且
令．解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64，且f(2，1)=4,f(0，0)=0．
则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．
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考研数学三

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