二次型f(χ1,χ2,χ3)=aχ12+aχ22+(a-1)χ32+2χ1χ2-2χ2χ3. ①求f(χ1,χ2,χ3)的矩阵的特征值. ②如果f(χ1,χ2,χ3)的规范形为y12+y22,求a.

admin2018-11-23  27

问题 二次型f(χ1,χ2,χ3)=aχ12+aχ22+(a-1)χ32+2χ1χ2-2χ2χ3
    ①求f(χ1,χ2,χ3)的矩阵的特征值.
    ②如果f(χ1,χ2,χ3)的规范形为y12+y22,求a.

选项

答案①f(χ1,χ2,χ3)的矩阵为 A=[*] 记B=[*].则A=B+aE. 求出B的特征多项式|λE-B|=λ3+λ2-2λ=λ(λ+2)(λ-1),B的特征值为-2,0,1,于是A的特征值为a-2,a,a+1. ②因为f(χ1,χ2,χ3)的规范形为y12+y22,所以A的正惯性指数为2,负惯性指数为0,于是A的特征值2个正,1个0,因此a=2.

解析
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