2. 考研
  3. [2011年] 已知f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf’’xy(x，y)dxdy．[img][/img]

[2011年] 已知f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf’’xy(x，y)dxdy．[img][/img]

admin2019-07-23  20
问题 [2011年]  已知f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf’’xy(x，y)dxdy．[img][/img]
选项
答案注意到f(x，y)的二阶导数连续，有f’’xy(x，y)=f’’yx(x，y)，故 f’’xy(x，y)dy=f’’yx(x，y)dy=df’x(x，y)， f’x(x，y)dx=df(x，y)， 有I=∫01xdx∫01yf’’xy(x，y)dy=∫01xdx∫01ydf’x(x，y) =∫01[yf’x(x，y)｜01—∫01f’x(x，y)dy]xdx =∫01f’x(x，1)xdx—∫01xdx∫01f’x(x，y)dy =0一∫01dy∫01xf’x(x，y)dx (因f(x，1)=0，故f’x(x，1)=0) =一∫01dy∫01xdf(x，y) =一∫01[xf(x，y)｜01—∫01f(x，y)dx]dy =∫01∫01f(x，y)dxdy=[*]．
解析
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考研数学一

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