设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2016-06-25 44

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A^TA)=r(A)；(2)A^TAX=A^Tb一定有解．

选项

答案(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n一r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n一r₂个无关解)之中，所以 n一r₁≤n一r₂₁，故有r₂≤r₁，即r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=0，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]b²=0，必有b=b2=…=k=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n一r(A^TA)≤n一r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由式子①，⑦得证r(A)=r(A^TA)． (2)A^TAX=A^Tb有解←→r(A^TA)=r(A^TA｜A^Tb)．由(1)知r(A)=r(A^T)=r(A^TA)，将A^T，A^TA=B以列分块，且B=A^TA的每个列向量均可由A^T的列向量线性表出，故A^T和B=A^TA的列向量组是等价向量组，A^Tb是A^T的列向量组的某个线性组合，从而r(A^T)=r(A^T｜A^Tb)=r(A^TA｜A^Tb)，故 r(A^TA)=r(A^T)=r(A^T｜A^Tb)=r(A^TA｜A^Tb)，故(A^TA)X=A^Tb有解．

解析

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考研数学二

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设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

考研数学二

设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1-cost)dt.则当x→0时，f(x)是g(x)的().

求曲线y=3-|x2-1|与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转一周所得的旋转体的体积.

设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有|f(x)-f(y)|≤|x-y|.证明：|∫abf(x)dx-(b-a)f(a)|≤1/2(b-a)2.

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得a/f′(ξ)+b/f′(η)=a+b

设函数f(x)满足关系f″(x)+f′2(x)=x，且f(0)=0，则().

设a0=1，a1=-2，a2=7/2，,an+1=-[1+1/(n+1)](n≥2).证明：当|x|＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x).

从点(2,0)引两条直线与曲线y=x3相切,求由此两条切线与曲线y=x3所围图形的面积S.

作半径为r的球的外切正圆锥,问此因锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则

设矩阵，已知线性方程组Ax=β有解但不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

不是定居人口腔的常见链球菌为

典型工作大纲的编写内容通常包括()。

为抑制2007年下半年开始出现的通货膨胀，中国人民银行可以采用公开市场操作来(　　)证券。

其地方进行拆迁，但遇上一钉子户，上级派你去，你怎么处理?

在看跌期权交易中，理论上损失无限、收益有限的是()。

distributionofsocialwealth

BetterControlofTBSeenIfaFasterCureIsFoundTheWorldHealthOrganizationestimatesthataboutone-thirdofallpeoplea

【S1】【S2】

A、OnFebruary17.B、OnFebruary7.C、OnJanuary17.D、OnJanuary7.B

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