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设A,B,C均是三阶矩阵,满足AB=-B,CAT=2C.其中B=,则矩阵A的特征值________,对应的特征向量______.
设A,B,C均是三阶矩阵,满足AB=-B,CAT=2C.其中B=,则矩阵A的特征值________,对应的特征向量______.
admin
2020-03-10
52
问题
设A,B,C均是三阶矩阵,满足AB=-B,CA
T
=2C.其中B=
,则矩阵A的特征值________,对应的特征向量______.
选项
答案
特征值:λ
1
=λ
2
=-1,λ
3
=2;对应的特征向量:β
1
=[*]
解析
由题设AB=-B,将B以列分块,设B=(β
1
,β
2
,β
3
).
则有AB=A(β
1
,β
2
,β
3
)=-(β
1
,β
2
,β
3
),即Aβ
i
=β
i
,i=1,2,3.
故β
i
(i=1,2,3)是A的对应于λ=-1的特征向量.又因为β
1
,β
2
线性无关,β
3
=β
1
+β
2
,故β
1
,
β
2
是A的对应于λ=-1的线性无关的特征向量.
由已知CA
T
=2C,两边转置得 AC
T
=2C
T
,将C
T
以列分块,设C
T
=(α
1
,α
2
,α
3
),则有A(α
1
,α
2
,α
3
)=2(α
1
,α
2
,α
3
),即Aα
i
=2α
i
,i=1,2,3. 故α
i
(i=1,2,3)是A的对应于λ
3
=2的特征向量.
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考研数学一
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