设a为区间(0,1)上一个定点,随机变量X服从(0,1)上的均匀分布.以Y表示点X到a的距离,当X与Y不相关时,a= ( )

admin2019-05-15  18

问题 设a为区间(0,1)上一个定点,随机变量X服从(0,1)上的均匀分布.以Y表示点X到a的距离,当X与Y不相关时,a=    (    )

选项 A、0.1
B、0.3
C、0.5
D、0.7

答案C

解析 由题设条件知X~U(0,1),Y=|X-a|,又因为
EY=∫01|x-a|dx=∫0a(a-x)dx+∫a1(x-a)dx=a3-a+
E(XY)=∫0ax(a-x)dx+∫a1x(x-a)dx=

所以由Cov(X,Y)=0可得方程
    4a3-6a2+1=0,
此方程等价于    (2a-1)(2a2-2a-1)=0,
从中解得在(0,1)内的实根为a=0.5,即a=0.5时,X与Y不相关.
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