设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2). 证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn;

admin2018-05-21  24

问题 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2).
证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn

选项

答案令φn(x)=fn(x)=1,因为φn(0)=-1<0,φn(1)=n-1>0,所以φn(x)在(0,1)[*](0,+∞)内有一个零点,即方程fn(x)=1在(0,+∞)内有一个根. 因为φ’n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,所以φn(x)在(0,+∞)内单调增加,所以φn(x)在(0,+∞)内的零点唯一,所以方程fn(x)=1在(0,+∞)内有唯一正根,记为xn

解析
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