2. 考研
  3. 设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，f′(x)＜k＜0(k为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间[a，a一]上有且仅有一个实根．

设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，f′(x)＜k＜0(k为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间[a，a一]上有且仅有一个实根．

admin2016-11-03  39
问题 设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，f′(x)＜k＜0(k为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间[a，a一]上有且仅有一个实根．
选项
答案根据定积分的保序性，在不等式f′(x)＜k的两端从a到x积分，得到 [*]kdt=k(x一a)， 即 f(x)一f(a)＜k(x一a)， 亦即 f(x)＜f(a)+k(x一a)(x＞a)． ① 令f(a)+k(x一a)=0，解得x=x0=a—f(a)／k，在式①中令x=x0得到f(x0)＜0． 又f(a)＞0，由零点定理知，f(x)=0在(a，x0)=(a，a—f(a)／k)内有实数根． 再由f′(x)＜0(x＞a)，且f(x)在x≥a处连续知，f(x)在Ea，a—f(a)／k]上单调减少，故方程f(x)=0在该区间只有一个实根．
解析 用零点定理证之．需找另一点x0，使f(x0)＜0．下面用定积分性质找出x0，也可用拉格朗日中值定理找出x0，使f(x0)＜0．
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