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(2015年)已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数。
(2015年)已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数。
admin
2018-03-11
33
问题
(2015年)已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x
2
+y
2
+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数。
选项
答案
因为f(x,y)沿着梯度的方向导数最大,且最大值为梯度的模, f′
x
(x,y)=1+y,f′
y
(x,y)=1+x, 故gradf(x,y)={1+y,1+x),模为[*] 因此题目转化为求函数[*]在约束条件C:x
2
+y
2
+xy=3下的最大值,即为条件极值问题。 为了计算简单,可以转化为求d(x,y)=(1+y)
2
+(1+x)
2
在约束条件C:x
2
+y
2
+xy=3下的最大值。 构造拉格朗日函数:F(x,y,λ)=(1+y)
2
+(1+x)
2
+λ(x
2
+y
2
+xy一3), [*] 得到M
1
(1,1),M
2
(一1,一1),M
3
(2,一1),M
4
(一1,2)。 d(M
1
)=8,d(M
2
)=0,d(M
3
)=9,d(M
4
)=9, 所以最大值为[*]
解析
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0
考研数学一
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