设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(x)<1(x∈(0,1)).求证: f3(x)dx.

admin2017-11-13  43

问题 设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(x)<1(x∈(0,1)).求证:
f3(x)dx.

选项

答案由条件知,f(x)>0(x∈(0,1]),可转化为证不等式 [*]f3(x)dx>1. 引进辅助函数F(x)=[[*]f(t)dt]2, G(x)=[*]f3(t)dt,又可转化为证不等式 [*] 这可用柯西中值定理. 易知F(x),G(x)在[0,1]可导,G′(x)=f3(x)≠0(x∈(0,1]),于是由柯西中值定理知,[*]ξ∈(0,1)使得 [*] 对[*]f(t)dt与f2(x)还可在[0,ξ]上用柯西中值定理,[*]∈(0,ξ)使得 [*] 因此 [*]

解析
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