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设3维向量组α1,α2线性无关,β1,β2线性无关. 证明存在非零3维向量ξ,ξ既可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出;
设3维向量组α1,α2线性无关,β1,β2线性无关. 证明存在非零3维向量ξ,ξ既可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出;
admin
2021-07-27
13
问题
设3维向量组α
1
,α
2
线性无关,β
1
,β
2
线性无关.
证明存在非零3维向量ξ,ξ既可由α
1
,α
2
线性表出,也可由β
1
,β
2
线性表出;
选项
答案
因α
1
,α
2
,β
1
,β
2
均是3维向量,4个3维向量必线性相关,由定义知,存在不全为零的常数k
1
,k
2
,λ
1
,λ
2
,使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0,得k
1
α
1
+k
2
α
2
=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
,取ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
,若ξ=0,则k
1
α
1
+k
2
α
2
=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
=0.因α
1
α
2
线性无关,β
1
,β
2
也线性无关,从而得出k
1
=k
2
=0,且λ
1
=λ
2
=0,这和4个3维向量必线性相关矛盾,故ξ≠0,ξ即为所求的既可由α
1
,α
2
线性表出,也可由β
1
,β
2
线性表出的非零向量.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/o6lRFFFM
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考研数学二
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