设A是3阶矩阵,α1,α2,α3都是3维非零列向量,满足Aαi=iαi,(i=1,2,3).记α=α1+α2+α3. ① 证明α,Aα,A2α线性无关. ② 设P=(α,Aα,A2α),求P-1AP.

admin2020-06-11  29

问题 设A是3阶矩阵,α123都是3维非零列向量,满足Aαi=iαi,(i=1,2,3).记α=α123.
①  证明α,Aα,A2α线性无关.
②  设P=(α,Aα,A2α),求P-1AP.

选项

答案条件说明α123都是A的特征向量,特征值依次为1,2,3,因此α123线性无关. ① α=α123,Aα=α1+2α2+3α3,A2α=α1+4α2+9α3,用矩阵分解,矩阵P=(α,Aα,A2α)=(α123,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3)[*][*]的行列式为2,因此是可逆矩阵.于是r(α,Aα,A2α)=r(P)=r(α123)=3,α,Aα,A2α线性无关.② 记P一1AP=B,则AP=PB,即(Aα,A2α,A3α)=(α,Aα,A2α)B.于是B是向量组Aα,A2α,A3α对α,Aα,A2α的表示矩阵.显然其第1,2两列分别为(0,1,0)T和(0,0,1)T.第3列是A3α对α,A3α,A2α的表示系数,设为c1,c2,c3,则P(c1,c2,c3)T=A3α, 注意A3α=α1+8α2+27α3,于是[*] 因为(α123)是可逆矩阵,所以有[*]用初等变换法求得c1=6,c2=一1 1,c3=6,于是[*]

解析
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