(1996年)设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件,试证:存在ξ∈(0,1),使f(ξ)+ξf’(ξ)=0.

admin2021-01-25  38

问题 (1996年)设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件,试证:存在ξ∈(0,1),使f(ξ)+ξf’(ξ)=0.

选项

答案令φ(x)=xf(x),由积分中值定理可知,存在 [*] 使 [*] 由已知条件,有 [*] 由于 φ(1)=f(1)=φ(η) 并且φ(x)在[η,1]上连续,在(η,1)上可导,故由罗尔定理可知,存在ξ∈(η,1)[*](0,1),使得 φ’(ξ)=0 即 f(ξ)+ξf’(ξ)=0

解析
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