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[2017年] 设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值．且α3=α1+2α2． 证明r(A)=2；
[2017年] 设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值．且α3=α1+2α2． 证明r(A)=2；
admin
2021-01-19
39
问题
[2017年] 设3阶矩阵A=(α
1
，α
2
，α
3
)有3个不同的特征值．且α
3
=α
1
+2α
2
．
证明r(A)=2；
选项
答案
利用秩的定义证之． 设A的特征值为λ
1
，λ
2
和λ
3
，因A有3个不同的特征值，故A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得 P
-1
AP=[*] 因为λ
1
，λ
2
，λ
3
两两不同，所以r(A)≥2．又因α
3
=α
1
+2α
2
，所以α
1
，α
2
，α
3
线性相关，从而上r(A)＜3，故r(A)=2．结论得证．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/lzARFFFM
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考研数学二
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